Drehen und Schieben - Was uns Astrofotos über Gruppentheorie lehren können

Vortrag von Tabea Méndez und Andreas Müller

Das Registrierungsproblem in der Bildverarbeitung verlangt, ein Bild derart zu transformieren, dass es sich mit einem andere Bild genau deckt. In der Astrofotographie werden so wenige Minuten lang belichtete Einzelbilder kombiniert zu einem Bild mit mehreren Stunden oder sogar Tagen effektiver Belichtungszeit. Für Translationen hat das Registrierungsproblem eine elegante Lösung mit harmonischer Analysis.

Im Rahmen einer Projektarbeit hat Tabea Méndez 2016 eine neuartige Lösungsstrategie für ein verallgemeinertes Registrierungsproblem entwickelt. Als Transformationen sind nicht mehr nur Transformationen zulässig, sondern eine grössere, insbesondere auch nichtkommutative Gruppe von Transformationen, zum Beispiel die Gruppe SO(3) der Drehungen einer Kugel oder die Gruppe der Drehungen und Verschiebungen einer Ebene. Die Lösung verwendet eine neuartige Integraltransformation (M-Transformation), die die Radontransformation auf die Kugeloberfläche verallgemeinert.

Die Resultate von Tabea Méndez erlauben aber auch eine Interpretation im Rahmen der abstrakten nichtkommutativen harmonischen Analysis. Es stellt sich heraus, dass die M-Transformation ein Spezialfall der Mittelungsoperation in einem Gelfand-Paar ist. Daraus wird einerseits verständlich, warum nichtkommutative Registrierungsprobleme deutlich komplizierter sind als das Problem, eine simple Translation zu finden. Andererseits liefert die abstrakte Theorie aber auch ein heuristisches Verfahren, wie das Problem in einfachere Teilschritt aufgeteilt werden kann, die mit kommutativen Methoden, also der klassischen Fouriertransformation, gelöst werden können.

Diese Erkenntnisse schlagen daher eine Brücke zwischen einem praktische wichtigen Anwendungsproblem und einem der abstraktesten Gebiete der Mathematik des zwanzigsten Jahrhunderts, der abstrakten harmonischen Analysis nichtkommutativer topologischer Gruppen und ihrer Darstellungstheorie.

Zum Vortrag

Im Vortrag wird der Ursprung des Problems dargestellt und gezeigt, wie das Problem für kompliziertere Gruppen formuliert werden kann. Es wird klar, warum dieses Problem nicht so elegant lösbar ist. Weiter wird die M-Transformation vorgestellt, mit der das Problem effizient gelöst werden kann. Anschliessend wird der Bezug zur abstrakten harmonischen Analysis hergestellt, insbesondere wird gezeigt, wie die M-Transformation als die Mittelungsoperation in einem sogenannten Gelfand-Paar verstanden werden kann.

Ort und Zeit

Der Vortrag findet statt am 26. Oktober 2017, 17:10 im Hörsaal 3.114

 

Der Vortrag ist ein weiteres Mal zu hören im Rahmen des Kolloquiums über Mathematik, Informatik und Unterricht am Mathematikdepartemen der ETHZ am 2. November 2017 um 17:15 im Hauptgebäude der ETH, Hörsaal G3.

Das Buch zum Vortrag

Nichtkommutative Bildverarbeitung

Motiviert vom allgemeinen Registrierungsproblem in der Astrophotographie behandelt das Buch "Nichtkommutative Bildverarbeitung" ein verallgemeinertes Registrierungsproblem auf nichtkommutativen Lie-Gruppen, insbesondere SO(3) und die Gruppe der Drehungen und Verschiebungen in der Ebene. Es wird gezeigt, wie das Problem in zwei Schritten gelöst werden muss und wie dazu Ideen der nichtkommutativen harmonischen Analyse verwendet werden können. Ebenso wird erklärt, wie die für das Registrierungsproblem auf SO(3) konstruierte sphärische Radontransformation der allgemeinen Konstruktion eines Gelfand-Paares (G,K) der abstrakten Theorie entspricht. An numerischen Beispielen wird die praktische Einsetzbarkeit der Méndez-Transformation demonstriert.

 

Tabea Méndez

Nichtkommutative Bildverarbeitung, Anwendungsmöglichkeiten der nichtkommutativen harmonischen Analyse in der Bildverarbeitung

mit einem Anhang von Prof Dr Andreas Müller

2016, ISBN 978-3-033-05830-9

Erhältlich zum Preis von CHF 40.00 bei Andreas Müller