Jacked

Jacked

Ein Hollywood Tour Bus wird entführt, die Entführer fordern für jede Geisel eine Million Dollar Lösegeld. Das moderne Fernsteuersystem, mit dem die Busgesellschaft den Bus jederzeit anhalten könnte, haben sie gehackt. Charlie meint dazu, nichts sei unhackbar, und die Angreifer hätten den Zugriff einfach nur abwarten müssen, um das Systempasswort zu stehlen. Charlie muss sich einiges einfallen lassen, um den Bus wieder unter Kontrolle zu bringen. Doch ist damit auch die Lage wieder unter Kontrolle?


Nichts sei unhackbar, Passwörter stehlen ist ganz einfach. Auch wenn die aktuellen Nachrichten manchmal diesen Eindruck vermitteln, gibt es doch Schutzmechanismen, deren Wirksamkeit mathematisch begründet werden kann. Die ganzzahligen Vielfachen einer reellen Zahl haben Nachkommateile, die eine verwirrend komplexe Folge bilden können. Kann man daraus möglicherweise ein Schutzverfahren konstruieren?

 

In dieser Numb3rs-Vorstellung wird gezeigt, wie sich diese einfach Grundidee zu einem soliden kryptographischen Verfahren ausbauen lässt, welches in Internet-Browsern und anderer Software täglich im Einsatz ist. Und wie Charlie in der Folge sagt: es ist nur ein Zahlentheorie-Problem. Wenigstens in einer möglichen Ausprägung des Verfahrens, dem Diffie-Hellman Protokoll. Eine besonders interessante Variante verwendet elliptische Kurven, die weder mit Ellipsen noch mit Kurven im landläufigen Sinne etwas zu tun haben.

 

numb3rs, Donnerstag, 16. Mai 2013, Hörsaal 3.010, 17 Uhr

Prof. Dr. Andreas Müller

Trailer

Elliptische Kurven

Thema dieser Vorstellung sind elliptische Kurven. Sie werden seit dem neunzehnten Jahrhundert internsiv studiert, und haben im zwanzigsten Jahrhundert eine überraschende Anwendung in der Kryptographie gefunden. Die Anwendung verallgemeinert das Diffie-Hellman-Protokoll, daher werden in der Vorlesung sowohl die Ideen, die zum Diffie-Hellman-Protokoll führen wie auch die Definition von und die Rechenoperationen in elliptischen Kurven dargelegt.

 

Elliptische Kurven sind Mengen von Punkten in der Ebene, die ein kubische Gleichung erfüllen. Etwas überraschend findet man in diesen Kurven auch eine Rechenoperation, die ganz ähnlich ist der Drehung eines Kreises um einen festen Winkel: ist der Winkel ein irrationales Vielfaches von Pi, dann füllen die Vielfachen des Winkels den Kreis mit der Zeit aus, insbesondere wird es schwierig, aus einem nicht ganz genau bekannten Vielfachen den Faktor zu bestimmen. Ähnlich führen die "Potenzen" eines Punktes in einer elliptischen Kurve mit der Zeit die ganze Kurve aus, und es ist schwierig, den Exponenten zu bestimmen. 

 

Das nachstehende Video zeigt die Potenzen eines Punktes auf einer elliptischen Kurve, und illustriert, wie die Punkte in der Kurve immer dichter liegen.

Eine zentrale Fragestellung im Zusammenhang mit der Kryptographie ist die Frage, wieviele Punkte eine elliptische Kurve hat. Schon lange ist bekannt, das die Zahl der Element ungefähr gleich gross ist wie die Primzahl, aber viele Details sind noch unklar. Numerische Experimente, deren Resultate ebenfalls in der Vorlesung gezeigt werden, suggerieren eine lineare Gesetzmässigkeit. Dies ist der Inhalt der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer die, in den sechziger Jahren aufgestellt, immer noch offen ist und als so bedeutend eingestuft wird, dass sie als eines der Millennium-Probleme des Clay Mathematics Institutes ausgeschrieben wurde.

 

Mehr Information zum Thema finden HSR Angehörige im HSR Moodle.